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Comprender la interpretación geométrica de la regresión


Uno de los métodos estadísticos más utilizados para examinar la conexión entre dos o más variables es el análisis de regresión. Es un instrumento eficaz para anticipar y simular el comportamiento de variables y tiene usos en una variedad de disciplinas, incluidas economía, finanzas, ingeniería y ciencias sociales. La interpretación geométrica del análisis de regresión, que arroja luz sobre la naturaleza de la conexión entre variables, es uno de sus componentes más cruciales. En este artículo, veremos la interpretación geométrica de la regresión y cómo se puede aplicar para comprender cómo se relacionan las variables entre sí.

¿Qué es el análisis de regresión?

El análisis de regresión es un método estadístico para modelar la conexión entre un conjunto de variables independientes (también llamadas predictores o factores explicativos) y un conjunto de variables dependientes (a veces llamadas variable de respuesta o variable de resultado). En un análisis de regresión, se busca la curva o línea que represente con mayor precisión la conexión entre las variables. Esta línea o curva se puede utilizar para pronosticar el valor de la variable dependiente en función de los valores de las variables independientes.

El análisis de regresión se puede dividir en dos categorías básicas: regresión lineal simple y regresión lineal múltiple. Solo hay una variable independiente en la regresión lineal básica, pero hay dos o más en la regresión lineal múltiple. La variable dependiente siempre es continua, lo que significa que puede tener cualquier valor entre un rango de valores.

La interpretación geométrica de la regresión

La relación bidimensional entre las variables se puede mostrar mediante la interpretación geométrica de la regresión. Se puede utilizar una línea recta en una regresión lineal simple para representar la conexión entre la variable independiente x y la variable dependiente y. La recta de regresión o recta de mayor ajuste es esta recta. El residual, o espacio entre cada punto de datos y la línea de regresión, se minimiza cuando la línea de regresión se crea de esta manera.

Según la pendiente de la recta de regresión, cada cambio unitario en la variable independiente provoca un cambio equivalente en la variable dependiente (y) (x). Si la pendiente es ascendente, la variable dependiente aumenta a medida que aumenta el valor de la variable independiente. Si la pendiente es negativa, la variable dependiente disminuye mientras que la variable independiente crece. La siguiente fórmula se puede aplicar para calcular la pendiente:

$$\mathrm{pendiente=(Σ(xy) - n(x)(y))/(Σ(x^2) - n(x)^2)}$$

donde n representa el número total de puntos de datos, (xy) es el producto de las dos variables x e y, (x2) es la suma de los valores de x al cuadrado y (x)(y) es la suma de x e y valores individuales.

La intersección de la línea de regresión muestra cuánto vale la variable dependiente cuando la variable independiente es igual a cero. Puedes resolverlo usando la fórmula:

$$\mathrm{intersección=y - pendiente(x)}$$

donde las medias de las variables independiente y dependiente, respectivamente, están representadas por xey.

Se puede utilizar un plano en un espacio tridimensional en la regresión lineal múltiple para representar la conexión entre la variable dependiente y dos o más variables independientes. Por cada cambio unitario en cada una de las variables independientes, la variable dependiente cambia en la cantidad indicada por la pendiente del plano de regresión. El valor de la variable dependiente cuando todas las variables independientes son iguales a cero está representado por la intersección del plano de regresión.

La trama residual

El gráfico residual es una herramienta útil para examinar las presunciones del análisis de regresión y detectar posibles fallas del modelo. Los residuos (la diferencia entre los valores reales y previstos) se muestran frente a la variable independiente en un gráfico de residuos. La gráfica residual debe estar libre de cualquier patrón y los puntos deben distribuirse aleatoriamente alrededor del eje horizontal si el modelo de regresión coincide bien con los datos. Si el gráfico residual muestra un patrón, podría indicar que la relación entre las variables no es lineal, que la varianza de la variable dependiente es heterocedástica, es decir, varía en todo el rango de la variable independiente, o que hay valores atípicos u otros valores significativos. Puntos que influyen en el modelo.

El coeficiente de determinación (R cuadrado)

El coeficiente de determinación, a menudo conocido como R cuadrado, es una medida de qué tan bien se ajusta el modelo de regresión a los datos. Denota la fracción de la variación de la variable dependiente explicada por la(s) variable(s) independiente(s). Los valores de R cuadrado varían de 0 a 1, donde 1 representa un ajuste perfecto y 0 indica que no hay asociación entre las variables. R cuadrado se puede calcular usando la siguiente fórmula:

$$\mathrm{R-cuadrado=1 - (SSres/SStot)}$$

donde SSres significa la suma de los residuos al cuadrado y SStot denota la suma total de cuadrados. Un valor alto de R cuadrado indica que el modelo explica una proporción sustancial de la varianza en la variable dependiente, mientras que un valor bajo de R cuadrado indica que el modelo no explica una proporción significativa de la varianza en la variable dependiente.

Aplicaciones de la interpretación geométrica de la regresión

La interpretación geométrica de la regresión ofrece una amplia gama de aplicaciones. En economía, el análisis de regresión se utiliza con frecuencia para modelar la relación entre dos o más variables económicas, como el vínculo oferta-demanda o la relación PIB-inflación. El análisis de regresión se utiliza en finanzas para investigar el vínculo entre los precios de los activos y otros factores económicos como las tasas de interés o las ganancias. El análisis de regresión se utiliza en ingeniería para describir la conexión entre las variables de entrada y salida en un sistema o proceso. El análisis de regresión se utiliza en las ciencias sociales para investigar el vínculo entre numerosas características y resultados socioeconómicos y demográficos, como los ingresos, la educación y la salud.

Conclusión

El análisis de regresión con interpretación geométrica ofrece una potente herramienta para investigar la relación entre dos o más variables. Nos permite ver la conexión en un espacio bidimensional o tridimensional, así como calcular la pendiente y la intersección de la línea o plano de regresión. Para verificar las presunciones del modelo y evaluar la bondad de ajuste del modelo, dos herramientas útiles son la gráfica de residuos y el coeficiente de determinación. La interpretación geométrica de la regresión es una herramienta crucial para comprender y examinar las conexiones entre variables y tiene varias aplicaciones en diversas áreas.