¿Es posible combinar consultas 'DISTINCT' y 'COUNT' para poder ver cuántas veces aparece cada valor distinto en una columna de la tabla MySQL?

Sí, puede utilizar la función agregada COUNT(*) junto con la cláusula GROUP BY. Primero creemos un:

mysql> create table DemoTable1425
   -> (
   -> JoiningYear int
   -> );
Query OK, 0 rows affected (0.76 sec)

Inserte algunos registros en la tabla usando insertar:

mysql> insert into DemoTable1425 values(2000);
Query OK, 1 row affected (0.15 sec)
mysql> insert into DemoTable1425 values(2010);
Query OK, 1 row affected (0.24 sec)
mysql> insert into DemoTable1425 values(2015);
Query OK, 1 row affected (0.12 sec)
mysql> insert into DemoTable1425 values(2000);
Query OK, 1 row affected (0.14 sec)
mysql> insert into DemoTable1425 values(2010);
Query OK, 1 row affected (0.14 sec)
mysql> insert into DemoTable1425 values(2000);
Query OK, 1 row affected (0.11 sec)
mysql> insert into DemoTable1425 values(2010);
Query OK, 1 row affected (0.10 sec)

Muestre todos los registros de la tabla usando select:

mysql> select * from DemoTable1425;

Esto producirá el siguiente resultado:

+-------------+
| JoiningYear |
+-------------+
|        2000 |
|        2010 |
|        2015 |
|        2000 |
|        2010 |
|        2000 |
|        2010 |
+-------------+
7 rows in set (0.00 sec)

La siguiente es la consulta para ver cuántas veces aparece cada valor distinto:

mysql> select JoiningYear,count(*) from DemoTable1425 group by JoiningYear;

Esto producirá el siguiente resultado:

+-------------+----------+
| JoiningYear | count(*) |
+-------------+----------+
|        2000 |        3 |
|        2010 |        3 |
|        2015 |        1 |
+-------------+----------+
3 rows in set (0.00